【導(dǎo)讀】在本文的第一部分，我們討論了當(dāng)運算放大器用于type-2補(bǔ)償器時，對開環(huán)增益AOL的影響。對運算放大器幅值和相位響應(yīng)的進(jìn)一步分析，顯示存在低頻和高頻兩個極點。如果在低帶寬設(shè)計中可忽略這些極點的存在，那么在高帶寬系統(tǒng)中需要增益和相位增強(qiáng)時就必須考慮它們帶來的失真。第二部分中將討論由于存在這些極點，如何確定type-2補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)以及它們將怎樣令濾波器性能失真。
運算放大器中的兩個極點
為了穩(wěn)定運行，運放設(shè)計人員實施所謂的極點補(bǔ)償，包括在低頻放置一個極點，使放置第二高頻極點前在頻率fc處的增益下降到1（0dB），通常在2fc.。
圖1：運放的開環(huán)動態(tài)響應(yīng)揭示了兩個極點的存在
圖1所示為一個典型的μA741，您可看到交越頻率1 MHz，低頻極點5 Hz左右，而第二極點出現(xiàn)在2MHz。請注意，這是個典型的響應(yīng)，開環(huán)增益AOL106dB。開環(huán)增益不是個精確控制的參數(shù)，它可顯著變化。數(shù)據(jù)表規(guī)定在整個溫度范圍內(nèi)（-55至125°C）增益從15K（83.5分貝）移至200K（106分貝），那么當(dāng)分立時，這曲線轉(zhuǎn)變。
一個簡單的拉普拉斯表達(dá)式可描述這兩極點開環(huán)響應(yīng)，如圖1所示：
（1）由圖2的Mathcad?繪制曲線確定：
圖2：運算放大器有一個低頻極點，第二極點在超過0dB的交越頻率處。
運算放大器的一個簡單的SPICE模型
我們可以很容易地建立模仿圖2的頻率響應(yīng)的SPICE模型。如圖3，它采用一個電壓控制的電流源G1，G1有跨導(dǎo)gm，后連一個接地電阻ROL，再與電容C1并聯(lián)。對于ROL，反相引腳Vinv的傳遞函數(shù)很簡單：
（2）如果我們現(xiàn)在緩沖電壓，并放置具有電阻R2和電容C2的第二極點，我們得到我們想要的完整的傳遞函數(shù)：
（3）元件值已自動顯示在頁面的左側(cè)，一旦運行仿真，右側(cè)就顯示所獲得的幅值/相位圖。這是個簡化的運算放大器模型，但它可以用于第一階分析。它可稍后升級到模型更特定的特點，如電壓鉗位或壓擺率電路，如 [ 1 ] 所描述的。請注意圖中LoL和CoL的存在，由于它們的存在，在元件運行開環(huán)時需要將運算放大器輸出電壓固定為2.5 V。這里因為沒有電源軌，我們可運行一個簡單的交流分析，不考慮直流偏置點。
圖3: 一個簡單的SPICE電路，可建立一個有開環(huán)增益和兩極點的運算放大器。
然而，如果您打算分析一個包括電源軌的更全面的模型響應(yīng)，那么當(dāng)您想要手動調(diào)整直流工作點時，這個簡單的電路將避免該集成電路上下波動。在仿真開始時LoL短路，有助于以E3和源Vref調(diào)整工作點。一旦交流掃描分析開始于CoL，LoL阻斷E3的調(diào)制，調(diào)整工作點的電路轉(zhuǎn)而靜止。這是通常的訣竅，采用平均模型以運行開環(huán)增益分析，同時確保確定閉環(huán)偏置點到所需的輸出值。這個簡單的SPICE模型將幫助測試我們分析得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
Type-2補(bǔ)償器有兩極架構(gòu)
既然我們知道運算放大器有兩個特別的極點，我們可更新在本文第一部分我們最初使用的草圖。圖4所示為新建立的type-2補(bǔ)償器，現(xiàn)在包括運算放大器的內(nèi)部特征。
圖4：更新電路將運算放大器中存在的兩個極點考慮進(jìn)來
輸出電壓VFB是誤差電壓?乘以運放的開環(huán)傳遞函數(shù)
（4）另外，誤差電壓可通過使用疊加定理將Vout和VFB設(shè)置為0V得出：
（5）如果我們將(5)代入(4)并加以整理，得出：
（6）Z1(s)相當(dāng)于：
（7）請參閱本文結(jié)尾的附錄，以了解如何用快速分析技術(shù)以簡單的步驟推導(dǎo)出這個表達(dá)式。
這個方程極其難處理，但有利的是，對于Mathcad?不是問題。我們可通過比較其動態(tài)響應(yīng)與SPICE模型以驗證它是否正確。我們假設(shè)下列元件值：
采用type-2架構(gòu)的SPICE電路如圖5所示。
圖5：完整的type-2 SPICE模型現(xiàn)在構(gòu)成運算放大器的動態(tài)響應(yīng)。請注意，考慮到2.5V參考電壓Vref2現(xiàn)在偏置于NINV引腳，將直流偏置點設(shè)置為12V。
由圖6證實，Mathcad?和SPICE之間的響應(yīng)是相同的，確定方程的有效性。
特征失真
圖5仿真采用的元件值來自一個type-2補(bǔ)償器，旨在以20dB的增益在10kHz交越頻率處建立65°相位增量。如果我們現(xiàn)在比較由本文第一部分方程（36）給出的理想的type-2響應(yīng)與使用μA741 （106dB AOL，有兩個極點，5Hz和2MHz）的type 2電路的響應(yīng)，您會注意到一些差異，如圖7所示：
圖6：由Mathcad?提供的繪制曲線與由SPICE產(chǎn)生的曲線完美重合
在該圖中，我們可看到在10kHz處有輕微的增益偏差和離20dB差約2.2dB。其實無關(guān)緊要。而更重要的是您以完美的公式實現(xiàn)期望的65°相位增量。在10kHz處，由具有真正運算放大器的電路提供的相位增量僅44.6°或相差20.4°。這將相應(yīng)減少最終的相位裕量。
圖7：用有最高開環(huán)增益的μA741創(chuàng)建type 2，已導(dǎo)致相位增量失真。
但后面更糟糕。如果您考慮由數(shù)據(jù)表顯示的開環(huán)增益的偏差，若AOL降至83.5dB，最小的規(guī)格是多少？圖8證明：在10kHz處的20dB增益差17dB，而相位增量驟降至6.7°。無需解釋為何系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最后一個值有關(guān)。圖9的SPICE仿真通過在同一圖中采集的3條不同曲線確定了這些數(shù)據(jù)。您可看到開環(huán)增益偏差的不利影響。
圖8：如果開環(huán)增益現(xiàn)在驟降至83.5dB，如運算放大器數(shù)據(jù)表所述，相位幾乎無提升。
如果我們現(xiàn)在改變type-2規(guī)格，也就是說我們在10 kHz處不再需要一個增益，但在fc 處有10dB的衰減，同樣相位增量65°，相位增量失真不那么明顯，開環(huán)增益較低（見圖10）。
圖9：運算放大器開環(huán)增益的變化引起嚴(yán)重的增益/相位失真
圖10：如果type-2電路改為以10dB衰減而不是在相同的10kHz交越頻率處放大，目標(biāo)仍沒有達(dá)到，但失真程度較小。
采用此架構(gòu)獲得的中波段增益是-11dB（相對于-10dB的目標(biāo)），而相位增量剛達(dá)到49°（相對于原來的65°目標(biāo)）。
Type-2響應(yīng)和開環(huán)增益繪制曲線
為確保運放內(nèi)部不改變補(bǔ)償器響應(yīng)，通常的建議是在相同的圖線上疊加理論型type 2幅值和運算放大器開環(huán)響應(yīng)。在圖11中，左圖對應(yīng)于我們第一次嘗試建立的一個type 2補(bǔ)償器，在10kHz處有65°相位增量和20dB增益。在該圖中，運放幅值與type 2補(bǔ)償器相交和相悖，導(dǎo)致我們想要的特征被破壞（最終的相位誤差幾乎有60°）。一看就很明顯，這交叉表明，要么是選擇的運放不適合，要么用type-2補(bǔ)償器設(shè)置的目標(biāo)過高。
圖11：左圖清楚地顯示這兩個響應(yīng)相交和衰減。右邊的幅值圖中沒有交叉，但最終的結(jié)果也失真。
圖11的右圖似乎表明，我們應(yīng)當(dāng)可以設(shè)計那樣的type-2電路，在10kHz交越頻率處不再有增益而是衰減。但我們的計算表明不是這樣，因為確定最終有17°相位誤差。
一種方法建議選擇一個增益帶寬乘積（GBW）大于所用type 3補(bǔ)償器的0dB交越頻率的運算放大器。然而您可看到，它不適用于圖11：在左邊，type 2的0dB交越頻率400kHz左右，而在右邊，我們想要衰減而不是增益。我提出一個稍微不同的經(jīng)驗之談的方案，其中運算放大器的開環(huán)響應(yīng)必須比type 2補(bǔ)償器的20fc “飛高” 20dB。如圖12所示。圖形化的方法是確定你的運放必須具有多少GBW的第一步，以使所需的相位增量和增益目標(biāo)在可接受的范圍內(nèi)。
圖12：作為第一步，我們建議選定運放的開環(huán)響應(yīng)至少比type 2補(bǔ)償器的second -1-斜率高20dB。
您首先計算type 2在20fc處的dB幅值，再加20dB。然后您計算出相應(yīng)的運放開環(huán)增益交越頻率或GBW：
（8）圖11的左邊，（8）給出了4.4MHz的 GBW，而對第二種情況建議150kHz的GBW。應(yīng)用這一策略到第一個例子，從而選定運算放大器開環(huán)增益為90dB，低頻極點位于150赫茲，或開環(huán)增益80dB，低頻極點450赫茲。不要減少開環(huán)增益到70dB以下，以使穩(wěn)態(tài)誤差在可接受的范圍內(nèi)。當(dāng)應(yīng)用這種策略，中帶增益為19.5dB，相位增量約60°?。在第二個例子中，（8）建議GBW 140kHz，開環(huán)增益80dB和低頻極點15 Hz。中帶增益色散為0.4dB，相位增量為56°或偏差9°。低頻極點增至30赫茲，降低增益色散到0.2dB和相位增量誤差為4.4°。
有了公式（8），您可開始選擇一個合適的運放的GBW。基于觀察和反復(fù)實施幾種情況以找到合適的GBW。我曾試圖從（6）提取可能的GBW–例如忽略高頻極點作用–以符合最初完美的type 2特定的偏差，但我不確定已經(jīng)確立有意義的表達(dá)式。一旦您有建議的GBW，就能查找運算放大器的數(shù)據(jù)表和確定一個合適的元件。將AOL和低頻極點與Mathcad?表[ 3 ]聯(lián)系起來，比較與目標(biāo)的偏差。一定要探索最小值，以致在最壞的情況下偏差仍是可接受的。
高頻電流模式降壓轉(zhuǎn)換器的補(bǔ)償實例
假設(shè)我們設(shè)計了一個5A降壓穩(wěn)壓器，將3.7V電池降至1.5V，開關(guān)頻率1MHz。輸出電容是180μF和有3m?等效串聯(lián)電阻（ESR）rC。假設(shè)我們想要50mV輸出壓降，負(fù)載變化從1.5A到5A。因此電源輸出阻抗必須等于：
（9）這可能表明小信號的閉環(huán)輸出在交越頻率fc處的阻抗以電容器阻抗為主，其提供的ESR足夠?。?/div>
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
（27）
（28）
（29）
（30）
（31）
（32）
（33）
（34）
（35）
（36）
（37）
（38）
（10）從所需的壓降，考慮180μF電容和想要的14.3m?輸出阻抗，我們可估算出需要的交越頻率是：
（11）有些人會反對，認(rèn)為這是對小信號的近似分析，大信號響應(yīng)將不同。這是事實，但經(jīng)驗表明，最終的結(jié)果與計算相近。當(dāng)然，當(dāng)存在ESR和ESL（寄生電感），結(jié)果大大不同，但這第一階的方法是個有意義的起點。此外，此方法分析表明將交越頻率與通常建議的Fsw/5或Fsw/10相比，往往是荒謬的。
我們選擇了62kHz的交越頻率fc。為了補(bǔ)償這種轉(zhuǎn)換器，我們首先需要功率級的動態(tài)響應(yīng)，這是分析的出發(fā)點。有幾種方式：a）使用控制到輸出的傳遞函數(shù)H(s)并由此得出波德圖）b) 用平均模型建立一個仿真設(shè)置 c）在實驗室建立一個原型和用網(wǎng)絡(luò)分析儀提取響應(yīng) 或d）用Simplis?或PSIM?建立開關(guān)模型和提取交流響應(yīng)。我們采用了策略b）如圖13所示。
圖13：平均模型幫助我們很快建立電流模式轉(zhuǎn)換器
從幅值圖，我們看到，如果我們想要62kHz交叉頻率，中頻帶增益必須是25.5dB。如果我們目標(biāo)是70°相位裕度（pm），在交越處約86°的相位滯后（pfc）需要以下相位增量值：
（12）從Mathcad?表的計算表明，一個極點位于291kHz，而零點將位于13.2kHz。根據(jù)（8），必須選擇一個50 MHz的GBW放大器。查閱各種運放的數(shù)據(jù)表，我們發(fā)現(xiàn)LT1208具有典型的7k開環(huán)增益（約77dB），可降到2k（66dB）為最小值。其典型增益帶寬積為45MHz，在電源?5V時，降至34兆赫。因此，低頻極點位于34兆赫/7k，約4.8kHz處。
圖14：開環(huán)增益色散會影響到最終有效的相位增量
圖14所示為兩個不同的開環(huán)增益的type-2波德圖。77dB提供45 MHz GBW和色散很小。當(dāng)AOL降至66dB（最低規(guī)格），增益色散仍可接受，但相位增量偏離目標(biāo)10.7°。
降壓轉(zhuǎn)換器中的運放
我們現(xiàn)在可以實際模型（至少有AOL與兩個極點）閉環(huán)和捕獲選定的運算放大器的特點到我們現(xiàn)在更新的的仿真原理圖。
圖15：運算放大器現(xiàn)在有低頻和高頻兩個極點
由該圖，我們可繪制開環(huán)增益T(f)，并看到開環(huán)的變化如何影響動態(tài)響應(yīng)。結(jié)果如圖16所示。正如預(yù)期的那樣，交越頻率和相位裕度出現(xiàn)一些色散。
圖16：動態(tài)響應(yīng)受開環(huán)增益變化的影響。在最壞的情況下（66dB AOL），相位裕度下降到60左右°，是可接受的（虛線）。
由圖15仿真電路，我們可運行一個瞬態(tài)負(fù)載階躍，并檢查兩個不同開環(huán)增益的響應(yīng)。結(jié)果如圖17所示。
圖17：最低的開環(huán)增益有44mV的偏差而典型值導(dǎo)致壓降40mV（虛線對應(yīng)于66dB AOL）
該壓降在兩個開環(huán)增益值的規(guī)格范圍內(nèi)。當(dāng)然，這是個簡化的方法，考慮到運算放大器的誤差電壓偏差（1.6 V），壓擺率必須是整個分析的一部分，其影響對瞬態(tài)響應(yīng)的評估。
總結(jié)
第二部分介紹了運放動態(tài)響應(yīng)對補(bǔ)償器性能的影響。當(dāng)需要大帶寬時，您不可再忽視這些對補(bǔ)償器的動態(tài)響應(yīng)的作用。可以將您想要的完美的type-2響應(yīng)與所選擇的運放的開環(huán)幅值圖疊加，并看看是否重疊。然而，我們已看到的一種情況是，不重疊最終導(dǎo)致一個顯著的相位增量失真。通過運算放大器開環(huán)響應(yīng)和完美的type 2開環(huán)響應(yīng)之間的顯著差距，您可選擇增益帶寬積，并以給定的公式檢查它如何影響所需的響應(yīng)。一個全面的穩(wěn)定性分析，必須通過影響所有元件容差考慮整個環(huán)路增益，包括運算放大器的內(nèi)部。通過（6）中完整的type-2傳遞函數(shù)，您就可以進(jìn)一步分析。
附錄 – 阻抗計算
為確定由（7）給出的阻抗，我們可以充分應(yīng)用快速分析技術(shù)。原理圖如圖18所示。為了獲得阻抗，我們將電流源IT注入到電路環(huán)路。IT是激勵而VT是響應(yīng)。我們想要的傳遞函數(shù)是將響應(yīng)與激勵聯(lián)系起來的關(guān)系。為了便于分析，我們在測量終端裝上了假負(fù)載電阻Rinf。我們將馬上看到其中的原理。
圖18：有兩個電容，這是個二階電路。
這類回路的傳遞函數(shù)可表示為以下形式：
（13）對于二階系統(tǒng)，我們可以證明分母遵循下列公式：
（14）?1和?2是所有儲能元件(C和Ls )保持在直流狀態(tài)（電容開路，電感短路）時獲得的時間常數(shù)。 表示在時間常數(shù)1（上標(biāo)數(shù)字）的元件處于高頻狀態(tài)（電容器短路，電感開路），同時確定在時間常數(shù)2的元件端的電阻。相反的， 表示在時間常數(shù)2（上標(biāo)數(shù)字）的元件處于高頻狀態(tài)（電容器短路，電感開路），同時確定時間常數(shù)1的元件端電阻。然后將這些時間常數(shù)組合，成為如（14）的D（s）。
首先，我們看看S = 0時，儲能元件端的電阻。在直流狀態(tài)下，我們讓所有電容開路和電感短路（如果有的話）。在開始任何類型的分析(.TRAN 或.AC)前，確定偏置點時，SPICE也同樣這樣做。我們想象如果我們移除電容器，輸入端阻抗由Rinf決定，因此它的存在避免了無法衡量的項：
（15）然后，我們確定每個電容器端提供的電阻R，而其對應(yīng)于非直流狀態(tài)（斷開或從電路中移除）。我們繪制出圖19。時間常數(shù)由?= RC定義。
圖19：您現(xiàn)在評估每個電容器端在直流狀態(tài)（從電路中移除）時所提供的電阻
無需寫一行代數(shù)，我們就可以檢查圖形和“得出”電容器端的電阻。我們有:
（16）和
（17）有了直流時間常數(shù)，讓我們確定更高的頻率，如圖20所示。對于 ，電容C1短路，您看看電容C2端的阻抗。
圖20：電容C1短路，C2端的電阻是多少？
時間常數(shù)直接等于：
（18）如果我們評估 ，將發(fā)現(xiàn)：
（19）我們將所有項組合形成D(s)：
（20）分子可以通過檢驗得出。如果您還記得我在第一部分所說的，當(dāng)一個特定的S值使變換后的回路無響應(yīng)（即C替換1/SC）時，會找到零點。在圖18中，響應(yīng)是VT，由電流源測量。當(dāng)VT變?yōu)? V，電路中一定出現(xiàn)了轉(zhuǎn)換的短路。如果是這樣，那么：
（21）如果是這樣，那么：
（22）一切都已妥當(dāng)，完整的傳遞函數(shù)如下所示：
（23）在分母中，提出Rinf，得到：
（24）簡化，令Rinf接近無窮大。最終的表達(dá)式為：
（25）如果您現(xiàn)在將分子中的R2C1提出，會得出分子中有倒數(shù)的所謂的低熵表達(dá)式：
（26）可用下列公式進(jìn)一步調(diào)整：
（27）（28）（29）（30）首項（28）仍然含阻抗，但不再是S=0時的值。它是您在圖21中看到的平坦區(qū)或中頻帶電阻，我們匯集所有表達(dá)式來測試它們的個別響應(yīng)。它們都是相同的。
圖21：Mathcad?確定原始表達(dá)式和最終表達(dá)式相同
快速分析電路技術(shù)展示了如何將電路分解成小的個別的草圖，并單獨解決每個草圖。若可檢測，很快就能得到結(jié)果，和得出有條有理的形式。這是這種方法的強(qiáng)大之處，我鼓勵您掌握這技巧，因為在確定復(fù)雜的傳遞函數(shù)時，時間優(yōu)勢是很重要的。 為激發(fā)您的興趣，請看圖22。您看到一個type-3補(bǔ)償器。無需寫一行代數(shù)，我可以告訴您，當(dāng)Z1和Z2分別轉(zhuǎn)化為短路和開路時，響應(yīng)VFB消失。（26）已評估了Z1，并提供一個零點，等于：
（31）為了防止激勵Vout形成響應(yīng)VFB，還有個選擇是Z2開路。換句話說，對于s = sz2，阻抗表達(dá)式不再有分母。
圖22：type-3電路是三階有源濾波器
為確定Z2的阻抗（孤立于整個電路），我們可以想象一個電流源與R1并聯(lián)，如圖18的右圖。s = 0時，您“看到”電流源兩端的阻抗是R1（C3處于直流開路狀態(tài)）。當(dāng)激勵（電流源）減至0A（一個0-A電流源從電路消失）時，時間常數(shù)是C3兩端的電阻R，數(shù)倍于C3。簡單地表示為 。我們不需要分子，因為我們只對分母的根感興趣。然而，如果您也想要分子，那么與我們分析Z1的架構(gòu)相同。如果R3和C3短路，電流源的響應(yīng)VT消失。只要組合這些數(shù)據(jù)，就有：
（32）要取消分母，并讓這個阻抗大小接近無窮大，您必須解得：
（33）從而
（34）因此，起媒介作用的type 3傳遞函數(shù)是：
（35）其中：
（36）（37）（38）作者：Christophe Basso，安森美半導(dǎo)體公司
本文來源于電子技術(shù)設(shè)計。
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