如何正確解讀隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度?
發(fā)布時(shí)間:2020-03-06 責(zé)任編輯:lina
【導(dǎo)讀】作為一個(gè)工程師,很多人對(duì)隨機(jī)振動(dòng)看著熟悉,卻又實(shí)際陌生。熟悉是因?yàn)閹缀趺總€(gè)產(chǎn)品在出廠時(shí)都要求要做隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn),陌生是因?yàn)楫?dāng)面對(duì)用戶所給的功率密度譜有時(shí)會(huì)感到很茫然,尤其是這個(gè)功率譜的單位居然是 ,簡(jiǎn)直是反人類,為啥整這么麻煩,不能給個(gè)加速度 直接振嗎?哈哈,這個(gè)還真不能,下面咱們就來抽絲剝繭,看看隨機(jī)振動(dòng)功率密度譜到底是咋個(gè)回事?
一、隨機(jī)信號(hào)和正太分布有什么關(guān)系?
作為一個(gè)工程師,很多人對(duì)隨機(jī)振動(dòng)看著熟悉,卻又實(shí)際陌生。熟悉是因?yàn)閹缀趺總€(gè)產(chǎn)品在出廠時(shí)都要求要做隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn),陌生是因?yàn)楫?dāng)面對(duì)用戶所給的功率密度譜有時(shí)會(huì)感到很茫然,尤其是這個(gè)功率譜的單位居然是 ,簡(jiǎn)直是反人類,為啥整這么麻煩,不能給個(gè)加速度 直接振嗎?哈哈,這個(gè)還真不能,下面咱們就來抽絲剝繭,看看隨機(jī)振動(dòng)功率密度譜到底是咋個(gè)回事?
隨機(jī)振動(dòng),是因?yàn)檎駝?dòng)源是隨機(jī)信號(hào),顧明思議,就是信號(hào)的發(fā)生帶有隨機(jī)性,無法用一個(gè)明確的函數(shù)把它表達(dá)出來,一個(gè)典型的隨機(jī)信號(hào)大概長(zhǎng)這個(gè)樣子:
可以看出,乍一看完全沒有規(guī)律可言,高度不規(guī)則,無規(guī)律的,不可預(yù)估也不可重復(fù),每次測(cè)量都不一樣。那隨機(jī)信號(hào)是不是就是不可描述的呢?首先我們研究一下什么是隨機(jī),隨機(jī)對(duì)應(yīng)不確定性,不確定性在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上是一個(gè)不受歡迎的詞,老板問你圖紙什么時(shí)候畫完,你敢回答“隨機(jī)吧”,或者更佛系一點(diǎn)“隨緣吧”?相信等待你的可不僅僅是白眼哦,這也是為啥當(dāng)初波恩將概率解釋引入到量子力學(xué)時(shí)受到愛因斯坦強(qiáng)烈的反對(duì),“上帝是不擲骰子”的典故便來源于此。然后諸多證據(jù)表明:也許隨機(jī)是這個(gè)世界的本質(zhì)特性之一,這可以由一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理來證明:中心極限定理。
一、隨機(jī)信號(hào)和正太分布有什么關(guān)系
中心極限定理有一組,但基本可以用一句通俗的話來概括它們:大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其平均值正態(tài)分布。對(duì)中心極限定理最形象的解釋是高爾頓釘板實(shí)驗(yàn):小球在下落過程中碰到很多個(gè)釘子,每次碰撞都是一個(gè)二項(xiàng)式的隨機(jī)過程:以同等的概率通過釘子左側(cè)或者右側(cè),小球最后到達(dá)的位置,是這很多個(gè)“左右”隨機(jī)變量相加后的平均位置。不難看出,這個(gè)平均值落在中心處的概率最大,小球聚集最多,但也可能向左或向右偏,偏離越大,小球的數(shù)目越少,不同位置的不同小球數(shù)便形成了一個(gè)“分布”,中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了,這個(gè)分布的極限是正態(tài)分布。
高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是一組二項(xiàng)式分布,從數(shù)學(xué)上還可以證明:中心極限定理的條件可以從二項(xiàng)分布推廣到獨(dú)立同分布隨機(jī)序列,以及不同分布的隨機(jī)序列。也就是說:在一定條件下,各種隨意形狀概率分布生成的隨機(jī)變量,它們加在一起的總效應(yīng),是符合正態(tài)分布的。
這也是為啥正太分布這么常見的原因,因?yàn)閷?shí)際上的隨機(jī)生物過程或物理過程,都不是只由一個(gè)單獨(dú)的原因產(chǎn)生的,它們受到各種各樣隨機(jī)因素的影響。比如產(chǎn)品加工免不了有誤差,而誤差形成的原因五花八門,各種各樣。就算我們打開上帝視角,夠分別清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因,誤差的分布曲線可能不是高斯的,但是,所有誤差加累計(jì)在一起時(shí),通常得到一個(gè)正態(tài)分布。下圖是30組隨機(jī)變量,和值隨數(shù)據(jù)增加時(shí)分布情況。
30組隨機(jī)變量(每組100萬數(shù)據(jù)),和值的隨數(shù)據(jù)增加時(shí)分布情況
總之,中心極限定理告訴我們:無論引起過程的各種因素的基本分布是什么樣的,當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) 充分大時(shí),所有這些隨機(jī)分量之和近似是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。也就是說:對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言,其分布是趨于正太的。
我們知道,正太分布的概率密度的表達(dá)式為:
其中為數(shù)學(xué)期望,代表著信號(hào)的平均值,
,
為方差,表示這信號(hào)偏離平均值的程度,
。
為均方值,在工程上可以一般看成信號(hào)的平均功率,其平方根為有效值(RMS值),
很容易得到:
所以當(dāng)平均值為零的時(shí)候,均方值與方差相等。從圖形上看,平均值 決定了正太分布的位置,均方根值,也就是標(biāo)準(zhǔn)差 ,決定了分布的幅度。如果正態(tài)分布概率密度一旦確定,其數(shù)學(xué)期望和方差也就確定了。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)而言,數(shù)學(xué)期望基本為零(或者去除直流分量后為零),所以唯一確定的量就剩均方值,此時(shí)均方值和方差一致,并且
如果仔細(xì)觀察上式,可以發(fā)現(xiàn),從量綱來看, 代表了能量概念,而方差代表了平均功率概念。
前面我們說到,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是趨于正太分布的,決定正太分布的兩個(gè)參數(shù):平均值 基本為零(不為零時(shí),直流分量也很容易處理),唯一能表征隨機(jī)信號(hào)的就剩均方值(時(shí)等于方差) ,也就是平均功率了。再具體一點(diǎn),對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)而言,描述是沒有意義的,描述平均功率才有意義。如何才能描述平均功率呢?這時(shí)我們就要用到頻譜分析的概念了,可能有些人會(huì)覺得這個(gè)概念很生疏,我要說我們每天一睜眼就在進(jìn)行譜分析你會(huì)信嗎?事實(shí)還真是這樣。我們的眼睛就是一雙最精密的譜分析儀:過濾到可見光以外的所有光線,并且可見光按照頻譜(頻率)進(jìn)行精確分類。
我們知道光本質(zhì)是一種電磁波,既然是波,就有波長(zhǎng) 和波動(dòng)頻率 ,光速 一個(gè)定值,波長(zhǎng)和波動(dòng)頻率成反比。人眼可識(shí)別出波長(zhǎng)在400納米至700納米的光線,并且根據(jù)波長(zhǎng)不同(頻率不同)將可見光分成紅、橙、黃、綠、藍(lán)、靛、紫色。
當(dāng)我們說“一個(gè)東西的表面是紅色”的時(shí)候,這是正常人的定性描述,換成喜歡定量描述(裝X)工程師會(huì)怎么說呢?“這個(gè)東西表面特性會(huì)選擇性反射一種電磁波,這種電磁波波長(zhǎng)約700納米,波動(dòng)頻率 約赫茲”。
那頻譜分析是什么呢?它是一種將復(fù)雜號(hào)分解為較簡(jiǎn)單信號(hào)的技術(shù),許多物理信號(hào)均可以表示為許多不同頻率簡(jiǎn)單信號(hào)的和,找出一個(gè)信號(hào)在不同頻率下的信息(可能是幅度、功率、強(qiáng)度或相位等)的作法就是頻譜分析。比如通過一個(gè)三棱鏡就可進(jìn)行色散試驗(yàn),將白光分解成頻率各不相同的單色光,我們經(jīng)常在雨后見到的彩虹也是一種色散現(xiàn)象。
在傅里葉變換背后到底有什么小秘密 這篇文章中,我們介紹了傅里葉變換概念,它是頻譜分析的基礎(chǔ),這篇文章中介紹了復(fù)指數(shù)函數(shù)是如何構(gòu)成一個(gè)完備正交基的,以及如何進(jìn)行傅里葉變換及其逆變換。但是,說這么多,頻譜分析和隨機(jī)信號(hào)有什么關(guān)系?
二、時(shí)域、頻域之間功率守恒?
頻譜分析和平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可以通過一個(gè)叫“帕斯瓦定理”的公式聯(lián)系起來,一個(gè)經(jīng)常被低估的定理,大概長(zhǎng)這個(gè)樣子:
其中 是 的傅里葉變換,這個(gè)公式看著還挺對(duì)稱,被積函數(shù)都是自變量的平方,貌似蘊(yùn)含著什么深刻的意義。翻譯過來,這個(gè)定理說的是什么事呢?那就是信號(hào)的能量(或者平均功率)無論在時(shí)域看,還是在頻域看,都是一樣的。
人類習(xí)慣于在時(shí)域觀察一個(gè)信號(hào),那會(huì)不會(huì)存在另一個(gè)物種或者空間,他們喜歡在頻域觀察呢?但無論如何,帕斯瓦定理告訴我們,不論頻域還是時(shí)域,信號(hào)所代表的能量是守恒的,而守恒的本質(zhì)是對(duì)稱性,那是不是預(yù)示著時(shí)域和頻域有著某種高度的對(duì)稱呢?
好了,扯遠(yuǎn)了,哲學(xué)上的事情不歸工程師管,我們要所的事情就是如何定量化的的去描述不確定的東西,比如隨機(jī)信號(hào)。前面我們說了,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 的幅值是呈現(xiàn)正太分布的,其平均值接近為零(或去除直流分量后),均方值或方差(也就是平均功率)是固定的,既然平均功率(或能量)在時(shí)域和頻域是守恒的,而在時(shí)域 是隨機(jī)的,不可描述,那我們可以換到頻域去啊:
其中: , 表示了信號(hào)的平均功率(或能量)在頻域上的分布,即單位頻帶的功率隨頻率變化的情況,故稱之為信號(hào)的自功率譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱自功率譜或自譜。 與 軸包圍的面積等于信號(hào)的平均功率,即 的幅值分布的方差或均方值。同時(shí)可以看出,當(dāng) 表示加速度時(shí)(單位為 ),的單位就變成了 。
三、自相關(guān)又是個(gè)什么玩意?
現(xiàn)在,事情就貌似變得簡(jiǎn)單了,我們將時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換,得到頻域分布 ,然后平方積分就可以得到功率譜密度了啊。理論上,我們確實(shí)可以這么做,但是實(shí)際上,這樣做有一個(gè)小困難,那就是經(jīng)典傅里葉變換不是一直存在的,前提的:信號(hào) 絕對(duì)值可積,即 ,而實(shí)際上平穩(wěn)隨機(jī)變量是不滿足的。
為了解決隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換問題,我還得引入一個(gè)概念:自相關(guān),先看定義:隨機(jī)過程 的自相關(guān)函數(shù)定義為在時(shí)刻和時(shí)刻的隨機(jī)變量乘積的平均值,是時(shí)移,當(dāng)平均時(shí)間 時(shí),平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:時(shí),平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:
定義有點(diǎn)拗口,可以先不理解,它說明一個(gè)什么事呢?它反映了隨機(jī)信號(hào)本身在不同時(shí)刻的相互關(guān)系,再直白一點(diǎn):把一個(gè)信號(hào)平移一段距離,跟原來有多相似。我們都知道,重要的證件上的照片,一般都要求是近半年的,道理顯而易見,時(shí)間久了跟現(xiàn)在長(zhǎng)得可能就不一樣了。下圖顯示了C羅近十年容顏的變化,都說女大十八變(即使不整容),男的又何嘗不是。
很顯然的一點(diǎn)是:隨著時(shí)間的推移,C羅的長(zhǎng)相是發(fā)生明顯變化的,時(shí)間越短,長(zhǎng)相越接近,可以想象,當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后,不知道我們還能不能認(rèn)出他來,不信,你看:
馬爸爸不要告我
對(duì)于隨機(jī)信號(hào),特別白噪聲隨機(jī)信號(hào)來說,當(dāng)時(shí)移非常小時(shí), 和 相差很小的概率很大,這時(shí)值非常大,表示關(guān)系密切。特別當(dāng) 時(shí), 值最大,等于方均值,也就是平均功率,表示完全相關(guān)。
當(dāng)時(shí)移 較大時(shí), 和 相差很小的概率很小。作平均計(jì)算正負(fù)對(duì)消,值很小。并且隨著值的增大,值很快衰減到零,表示和之間沒有依賴關(guān)系,對(duì)一般的寬帶隨機(jī)振動(dòng),時(shí)間間隔很遠(yuǎn)的二個(gè)隨機(jī)量之間不存在任何固定關(guān)系。簡(jiǎn)單點(diǎn)來說:對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),自相關(guān)函數(shù)將信號(hào)的平均功率向 這一點(diǎn)集中,時(shí)自相關(guān)函數(shù)快速衰減為零。
對(duì)于周期信號(hào),自相關(guān)函數(shù)可以把隨機(jī)信號(hào)中的周期成份檢測(cè)出來,這是因?yàn)槿魏沃芷谛盘?hào)在所有的時(shí)移上都有一定形狀的自相關(guān)函數(shù)圖形。對(duì)于周期信號(hào)來說,經(jīng)過一個(gè)周期后又精確的重復(fù)過去的時(shí)間歷程,因此當(dāng)時(shí)移超過該周期時(shí),其自相關(guān)函數(shù)必然重復(fù)前一段的形狀。
所以若在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時(shí)移趨于無窮大, ,而有某種周期性,則說明該隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)混有周期信號(hào)成分。 簡(jiǎn)單點(diǎn)來說:自相關(guān)函數(shù)能夠檢測(cè)出信號(hào)內(nèi)部蘊(yùn)藏的周期組分,而過濾掉了周期組分的相位信息。
對(duì)于上面兩段話不是很理解的,可以看下面兩幅圖,分別是白噪聲隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)相位正弦信號(hào)及其自相關(guān)信號(hào)。
說了這么多,和我們要進(jìn)行功率譜分析有什么關(guān)系?前面我們分析了,信號(hào)的功率在時(shí)域和頻域都是滿足守恒定律的,
而功率被定義成幅值的平方的時(shí)間平均分量,而這個(gè)過程,也可以看成是去除頻域諧波分量的相位信息的過程,因?yàn)楸举|(zhì)來說,一個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)的相位是不影響其功率的。而自相關(guān)函數(shù),也具有去除信號(hào)相位的功能,那自相關(guān)函數(shù)和功率密度譜是不是有什么深刻的聯(lián)系呢?答案是肯定的,那就是維納-辛欽定理(Wiener–Khinchin theorem),這個(gè)定理表明:信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與功率密度譜是一對(duì)傅里葉變換對(duì):
也就是說:一個(gè)信號(hào)的功率密度譜,就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。
總結(jié)一下整個(gè)邏輯:對(duì)于一個(gè)隨機(jī)信號(hào)而言,時(shí)域信息是雜亂無章的,唯一的確定性信息但是在統(tǒng)計(jì)意義下得到的,即幅值呈正太分布,均方值也就是平均功率是固定的。根據(jù)帕斯瓦定理,信號(hào)的平均功率在時(shí)域和頻域是守恒的,按道理說直接對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換再取平方就可以。
但不幸的事,隨機(jī)信號(hào)的不滿足傅里葉變換絕對(duì)值可積的條件,嚴(yán)格意義傅里葉變換不存在,于是發(fā)明了自相關(guān)函數(shù)的概念,將信號(hào)的蘊(yùn)含的周期信號(hào)識(shí)別出來,并將相位信息去掉(相位不影響平均功率),于是就出現(xiàn)了我們?cè)诮滩纳弦姷降淖罱K形式維納-辛欽定理:一個(gè)信號(hào)的功率密度譜,就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。提煉一下就是:隨機(jī)信號(hào)→幅值正太分布→均方值(平均功率)→帕斯瓦定理(功率守恒)→自相關(guān)函數(shù)(去除相位信息)→維納-辛欽定理(最終形式)。
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