【導讀】本文詳解控制理論。通常我們在講解控制理論時，都只通過框圖，而不參考實際的電路。在數(shù)學和電路仿真工具的幫助下，我們將一步步說明電子控制理論與現(xiàn)代電路設計息息相關。
簡介
大學教授的許多科目都會令學生發(fā)問："學習這門課程能讓我找到一份工作嗎？"控制理論可能就是這樣一門課程，這些多達數(shù)頁的數(shù)學和框圖不會在實際電路中被直接使用。但是，控制系統(tǒng)教授工程師如何設計自動系統(tǒng)、系統(tǒng)距離實現(xiàn)穩(wěn)定操作還有多大距離，以及如何從給定系統(tǒng)獲得最佳響應。因為不管課程是關于機械、電氣、土木、航空，或者是通信工程，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，一切都沒有用。
對于設計工程師來說，控制理論就是生命本身。
現(xiàn)在有許多關于控制理論的優(yōu)秀文章，但是其中很多都是借助框圖，以最概括化的方法來進行介紹。本文主要面向電子工程師，從電路分析和仿真的角度介紹電子控制系統(tǒng)；介紹了常見的二階系統(tǒng)背后的理論，而且是利用有效的電路示例來加以說明；旨在揭露二階系統(tǒng)的基礎原理，并向嘗試了解電子控制理論的人員說明，該理論與模擬電路設計之間存在關聯(lián)。
二階系統(tǒng)
圖1所示為最基礎的二階網(wǎng)絡。
圖1.由一個電阻、一個電感和一個電容構成的二階網(wǎng)絡。
其傳遞函數(shù)為：
方程1右側的分母被稱為 特征多項式 ，如果我們令特征多項式為0，我們會得出 特性方程。當轉換函數(shù)的分母等于0時，得到系統(tǒng)的極點 通過求解特性方程的根（讓特性方程等于0的s的值），我們可以找到系統(tǒng)的極點，從而獲取與系統(tǒng)運行狀況相關的許多信息。
二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為：
其中ζ表示阻尼系數(shù)，ωn表示電路的固有振蕩頻率（或無阻尼頻率），單位為弧度/秒。
所以，二階系統(tǒng)的一般特性方程為：
比較方程3和方程1，我們可以看出，圖1中的電路的固有頻率為：
我們也可以看出，電路中的電阻會影響網(wǎng)絡的阻尼系數(shù)：
所以
所以
可以直觀看出，如果電路中沒有電阻，網(wǎng)絡不會出現(xiàn)耗損（無阻尼），如果模擬這種電路，則電路會永久振蕩。隨著電阻增加，振蕩會更快衰減。
圖2顯示一個RLC電路，其中階躍輸入為1 V，L = 1 µH，C = 1 µF，電阻分別為0 Ω、100 mΩ和500 mΩ。電路按照預期的159 kHz頻率振蕩。電阻增加對衰減的影響一目了然。
圖2.電阻對網(wǎng)絡振蕩的衰減影響。
我們可以通過將拉普拉斯域轉換為時域，以數(shù)學方式展示圖2所示的模擬結果。拉普拉斯域中的單位階躍輸入寫為：
所以當我們使用單位階躍輸入仿真二階系統(tǒng)時，結果會變成：
如果使用部份分式分解法，方程9可以寫為：
方程10是表示在拉普拉斯域中的。
在時域中，這會轉換為：
其中
采用逆拉普拉斯變換的公式11的數(shù)學推導如 附錄A所示。
通過公式11，我們可以看出圖1的電路如何響應階躍輸入。我們可以看到，波形具有與正弦曲線類似的特性，其幅度則由e–ζωnt項調(diào)制，根據(jù)阻尼系數(shù)是正數(shù)或復數(shù)出現(xiàn)指數(shù)式衰減或增加。近似來看，響應由正弦部分和余弦部分組成，但是，阻尼系統(tǒng)較低時，正弦部分非常小。
此外，盡管電路的固有頻率為ωn，但電路不會按照此頻率振蕩，而是按照更低一些的頻率ωdn決定。
要找出轉換函數(shù)的極點，則需要確定轉換函數(shù)何時等于0，也就是說：
s的值可以使用二次方程求解：
其中
要得出系統(tǒng)極點，需要：
如果阻尼系數(shù)小于1，會得出負的平方根，所以最好將方程15寫作：
我們之前說過 ωd = ωn√(1 – ζ2)，所以方程16可以改寫為：
這里我們可以看出，系統(tǒng)的極點包含實數(shù)部分(–ζωn) 和虛數(shù)部分 (±jωd)。
方程17可以求解得出特性方程的根（系統(tǒng)的極點）。我們?nèi)绾螌⑦@些極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來？現(xiàn)在我們需要把拉普拉斯域的極點和時域的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。
通過方程11和方程17，我們可以得出以下觀察結果。
無阻尼固有頻率ωn決定了：
拉普拉斯域（方程17）中的極點 (–ζωn)的虛數(shù)部分。
振蕩的實際頻率
由此，可以合理假設極點的虛數(shù)部分確定了系統(tǒng)振蕩的實際頻率。
這兩個假設可以用s平面圖表示，我將在下一節(jié)詳細介紹。
穩(wěn)定的系統(tǒng)
控制理論認為，如果極點位于s平面的左半部分，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖3所示為一個s平面示例，其中實數(shù)部分在x軸上繪制，虛數(shù)部分在y軸上繪制。
圖3.s平面：顯示穩(wěn)定的左半部分和不穩(wěn)定的右半部分。
從方程17可以看出，如果阻尼系數(shù)為正（方程17的實數(shù)部分為負），則極點位于左半部分。隨著阻尼系數(shù)增加，方程17的極點進一步向左移動（在左側平面內(nèi)，越來越靠近左側)。
如果方程17在拉普拉斯域中，如何在時域中轉換？
為了方便起見，我們再次使用方程11：
正阻尼系數(shù)ζ會引發(fā)指數(shù)式的衰減幅度響應（由e–ζωnt項表示），阻尼越大，衰減越快。隨著阻尼系數(shù)增加，極點進一步向左移動（在拉普拉斯域內(nèi)），這進一步增大了時域內(nèi)的指數(shù)式衰減。從圖2中可以看出這一點，圖2使用100 mΩ和500 mΩ線路來表述電阻對阻尼的影響。在此區(qū)域中，500 mΩ線路的阻尼系數(shù)最大，所以它的指數(shù)式衰減最明顯。0 Ω時，阻尼系數(shù)為0，此時極點完全位于y軸上，電路無限振蕩，如圖2中的綠色線路所示。
值得注意的是，即使系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這并不表示一定沒有振蕩。電路可能會在左半平面的極點處振蕩，但是這些振蕩的振幅會隨著時間而衰減，如圖2所示。
這對圖1中的電路意味著什么?
我們知道圖1中的阻尼是通過下方的方程得出：
它的固有頻率則是：
所以，在L = 1 µH，C = 1 µF時，固有頻率為1 Mrads–1 (= 159.1 Hz)，R = 500 mΩ時的阻尼系數(shù)為0.25。
所以，阻尼振蕩頻率ωd由以下方程計算得出：
所以，阻尼振蕩頻率為968 krads–1，即154 kHz。這可以通過查看圖4中紅色波形的頻率來說明。
圖4.阻尼對RLC電路振幅和頻率的影響。
正弦波的振幅按e–ζωnt衰減。阻尼系數(shù)為0.25，固有頻率ωn為1 Mrads–1，阻尼固有頻率為968246 rads–1，那么方程11變成：
使用這個公式，計算得出VOUT在3.26 μs時為1.44 V，在9.75 μs時為1.09 V，與圖4中顯示的讀數(shù)完全一致。
圖4清楚顯示了增加阻尼系數(shù)會產(chǎn)生的影響，即振幅和阻尼固有頻率都減小。
如果我們繼續(xù)增大阻尼系數(shù)，會出現(xiàn)什么結果？
我們知道阻尼固有頻率是通過以下方程計算得出：
當阻尼系數(shù)增大到一時，阻尼固有頻率減小到零。這就是所謂的臨界阻尼點，此時電路中的所有振蕩終止。這一點可參見方程11。自阻尼固有頻率ωd減小到0，正弦項等于0，余弦項目等于一，表達式簡化為一階系統(tǒng)，與通過電阻充電的電容完全一樣。
這一點可以參見圖4中的臨界阻尼線路。
不穩(wěn)定系統(tǒng)
由于所有電路都具有電阻，所以許多電子控制電路的極點都位于左半平面，且系統(tǒng)本身保持穩(wěn)定。但是，由方程11可以看出，負阻尼系數(shù)會導致振幅響應呈指數(shù)增長，所以極點位于右半平面會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在電路模擬中，通過插入負電阻，可以很容易看出右半平面的影響。圖5顯示RLC電路，其電阻為負。
圖5.電阻為負的RLC電路。
該電路的阻尼系數(shù)為-0.1。圖6顯示了它對階躍輸入的響應。
圖6.阻尼為負的二階系統(tǒng)的階躍響應。
阻尼固有頻率仍然由以下方程表示：
阻尼系數(shù)為-0.1時，振蕩的實際頻率為994987 rads–1 (158.3 kHz)。
同樣，從方程11可以看出電路響應由以下公式表示：
在輸出增大時，我們可以得出振幅響應：VOUT在41.05 μs時，計算得出的值為61.62 V，在47.36 μs時，為114.99 V，與圖6中所示的讀數(shù)完全一致。
主導極點
有時一個系統(tǒng)由許多極點組成，使分析變得復雜。但是，如果極點之間相隔的距離足夠大，那么一個極點產(chǎn)生的影響會占主導，因此可以忽略非主導極點，從而簡化系統(tǒng)。
圖7的上半部分顯示了兩個RLC電路，每個都使用完全相同的L和C元件；只是電阻發(fā)生了變化。電阻較低的電路的極點更靠近s平面的虛數(shù)軸。
圖7.主導極點的位置對串聯(lián)和并聯(lián)電路的影響。
圖7的下半部分顯示了這兩個電路的串聯(lián)。我們使用行為電壓源B1來復制V(OUT3)，以免它被R4、L4和C4加載，以便我們查看V(OUT3) × V(OUT4)的真實響應。
圖8.當兩個波形相加或相乘時，主導極點對系統(tǒng)響應的影響。
我們可以參考圖8查看它們的響應。不出所料，電阻最大的電路具有最大的阻尼系數(shù)，因此其振蕩衰減也最快，如圖V(OUT2)所示。但是，我們注意到，當兩個輸出要么相加（使電路并聯(lián)），要么相乘（使電路串聯(lián)）時，V(OUT1)在響應中占主導。因此，要簡化復雜的系統(tǒng)，方法之一是重點關注極點更靠近jω軸的電路，該電路會主導整個系統(tǒng)的響應。
在左右半面均有極點分布的系統(tǒng)
我們已經(jīng)考慮過極點位于左半平面或右半平面的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在左右半面均有極點分布，會怎么樣？哪一種在穩(wěn)定性方面更勝一籌？為什么？
我們再次參考方程11，可以看出指數(shù)是決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的決定因素。我們可以忽略方程11的正弦部分，只看指數(shù)，以了解如果我們將左半面的極點和右半面的極點結合，會發(fā)生什么。圖9通過一個簡單電路來進行演示。
圖9.極點分別位于左半面和右半面的電路。
很顯然，頂部的RC電路的極點位于左半面，因為它的電阻為正。底部電路的極點則位于右半面。得出此結論的數(shù)學推導如 附錄B所示。
圖9中，電路的響應如圖10所示。
圖10.對具有正負電阻的RC電路的階躍輸入的響應。
頂部波形在大約5毫秒后穩(wěn)定在零梯度，這符合大眾接受的規(guī)則，即RC電路將穩(wěn)定在大約5個時間常數(shù)。相反，V(OUT2)的梯度不斷增加。現(xiàn)在可以明顯看出，如果將極點位于左半面的電路和極點位于右半面的電路串聯(lián)，那么整個電路會不穩(wěn)定，這是因為在左半面電路穩(wěn)定很長時間后，右半面電路的響應會繼續(xù)呈指數(shù)上升。因此，為了讓電路穩(wěn)定，所有極點都必須位于左半面。
結論
本文將電子控制理論中使用的理論模型與電子工程師所處的現(xiàn)實聯(lián)系起來。受系統(tǒng)中的電阻（或阻尼）影響，只有當所有極點都位于左半面時，控制系統(tǒng)才會保持穩(wěn)定。對于極點位于右半面的系統(tǒng)，通過測量其輸出響應，結果證實存在問題，因為這需要構建負電阻模型。幸好，計算機模擬幫我們解決了這個問題，讓我們能夠通過簡單變更電阻的極性來展示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的電路。
同樣，拉普拉斯變換也很少在課堂之外出現(xiàn)，但在驗證二階電子系統(tǒng)如何工作時，它們的作用可謂是無價的。
附錄A
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
二階低通濾波器的通用轉換函數(shù)為
所以，由單位階躍模擬的二階系統(tǒng)的響應為
使用了標準的部份分式分解法，方程如下：
用s代替x之后，
在A4中，分子中不含s或s2。而且，分母中也不含a。
所以方程A6可以改寫為
因此
為保證方程A8兩邊的分母相同，可以將其改寫為
為了驗證，可以將方程A9的右側與方程A8的右側進行比較：
現(xiàn)在，我們可以使方程A9的分母相等，以求解A、B和C：
s2的系數(shù)相等：
0 = A + B
s1:的系數(shù)相等：
0 = A(2ζωn) + C
s0:的系數(shù)相等：
ωn 2 = Aωn 2
所以A = 1, B = –1, C = –2ζωn
因此，通過方程A8可以得出
（注意符號的變化，因為B和C都為負）
從時域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有三次變換：
通過完成平方計算，我們可以把方程A12寫為
等于
我們現(xiàn)在需要讓分子等于 (s + 2ζωn) ，使其與分母中的第一項匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
因此，通過將ζωn分子項分解為分式，方程A15等于
（所以， a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2))
我們現(xiàn)在需要讓方程A17的第三個項等于ωn√(1 – ζ2) ，使其和分母匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
用方程A17的第三個項除以 ωn√(1 – ζ2)，然后將 ωn√(1 – ζ2)放在分子位置。
那么整個方程可以改寫為
所以 a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2)
方程A19現(xiàn)在可以從拉普拉斯域中轉變?yōu)?/div>
第三項中取消了兩個wn。因為阻尼固有頻率ωd可以寫為
方程A21可以簡化為
許多課本中提到，方程A21的多項式也可以寫為
所以我們的衰減指數(shù)由阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率決定，振蕩由阻尼固有頻率決定。
可以將方程A23輸入電子表格和表示輸出與階躍輸入之間關系的圖表中。
附錄B
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
RC電路的通用轉換函數(shù)為：
s為負值時，分母為零，所以這個電路的極點位于左半面上，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果電阻為負，那么極點位于右半面，系統(tǒng)會不穩(wěn)定。
從方程B3可以看出，RC電路的轉換函數(shù)與階躍輸入之間的關系為
使用了標準的部份分式法，方程如下：
在本例中，a = 0
所以
分子中s1 的相等項為
0 = ACR + B
分子中 s0的相等項為
1 = A
所以 A = 1, B = –CR
因此
從時域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有兩次變換：
將方程B7轉化為采用時域意味著RC按照預期
進行響應。
附錄
下載與本文相關的 LTspice® files 文件。
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參考電路
Charles Phillips、Royce Harbor。《反饋控制系統(tǒng)》，第4版。Prentice Hall International，1988年。.
致謝
我們采用 LTspice進行模擬。
非常感謝倫敦布魯內(nèi)爾大學的Maysam Abbod為本文實施理論校正。
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