串聯(lián)RLC電路

 

演示

 

RLC電路的表示如下圖1所示：

 

圖1：RLC系列電路示意圖

 

電阻器是一個(gè)純電阻元件，在其上的電壓和電流之間沒有相移。其阻抗（ZR）在直流和交流區(qū)保持不變，等于R（單位：Ω），電感是一個(gè)純無(wú)功元件，相移為+90°或+π/2rad。其阻抗由ZL=jωL給出，ω是交流情況下電壓/電流的角頻率，L是電感（單位：H）。在直流區(qū)，電感器表現(xiàn)為兩個(gè)端子之間的短路；在交流區(qū)，電感器的阻抗隨著頻率。電感器通常被認(rèn)為是一種元件，它可以抵抗電流。電容器也是純無(wú)功元件，但其相移為-90°或-π/2rad。它的阻抗由ZC=-j/Cω給出，C是電容（單位為F），因此當(dāng)頻率增加時(shí)，它在直流區(qū)表現(xiàn)為開路，在交流區(qū)表現(xiàn)為短路電壓輸入圖1，這三個(gè)組件串聯(lián)在一起。電路由直流或交流電源供電，輸出是電容器上的電壓。前面的阻抗之和是電路阻抗的總和說(shuō)明：ZRLC=ZR+ZL+ZC=R+j（Lω-（1/Cω））在下一節(jié)中，我們將介紹該電路對(duì)電壓階躍（也稱為瞬態(tài)響應(yīng)）的響應(yīng)。

 

瞬態(tài)響應(yīng)

 

在本節(jié)中，我們將重點(diǎn)關(guān)注圖1中所示電路的行為，當(dāng)對(duì)其應(yīng)用重邊步驟H（t）時(shí)：

 

圖2:Heaviside函數(shù)說(shuō)明

 

升程階躍的特征是t<0等于0，t>0時(shí)等于Vin。這兩種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換類似于脈沖，因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)趨于+∞。通過對(duì)電路進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分析，我們可以得出：Vin=R×I+L×dI/dt+Vout。此外，我們知道電流可以改寫為I=C×dVout/dt，由此得到以下二階微分方程：

 

 

式1：串聯(lián)RLC電路的二階微分方程

 

這種方程的解是永久響應(yīng)（時(shí)間常數(shù)）和瞬態(tài)響應(yīng)Vout，tr（時(shí)間變量）的總和。永久響應(yīng)的求解是一個(gè)方程1的永久解，其瞬態(tài)響應(yīng)很復(fù)雜，涉及許多步驟，本文不詳細(xì)介紹。我們承認(rèn)它的表達(dá)式可以有三種不同的形式，取決于Q=（1/R）√（L/C）的值，稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。另一個(gè)重要參數(shù)是ω0=1/√（LC），這是電路。何時(shí)Q> 1/2，該系統(tǒng)被稱為偽周期響應(yīng)或欠阻尼響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)可采用Vout、tr=Ae-αtcos（ωt+Φ）的形式寫入。考慮電路初始條件（如果電容器充電或未充電…）可以找到常數(shù)A、α和Φ。脈動(dòng)ω稱為角頻率，取決于基本頻率ω0。當(dāng)Q<1/2時(shí)，該系統(tǒng)被稱為非周期或過采樣響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)形式為Vout，tr=e-αt（A1e-ωt+A2eωt），最后一種情況是Q=1/2，對(duì)應(yīng)于臨界狀態(tài)或臨界阻尼響應(yīng)。在這種情況下，Vout，tr=（A+Bt）e-ω0t，Vin：

 

圖3：瞬態(tài)響應(yīng)的不同區(qū)域曲線

 

當(dāng)時(shí)間增加時(shí)，每條曲線趨于0。這是有意義的，因?yàn)槲覀冎繴out=Vin+Vout，tr和Vout（t→+∞）=Vin，因此，Vout，tr→0。但是，不同的可能瞬態(tài)響應(yīng)在相同的速度和行為下不趨向于0。臨界狀態(tài)是最快趨于0的狀態(tài)，而非周期狀態(tài)是最慢的。偽周期區(qū)域呈現(xiàn)振幅減小的振蕩指數(shù)級(jí)的。為了一個(gè)未知的RLC電路，用最佳可能曲線識(shí)別和匹配瞬態(tài)響應(yīng)，可以得到電路的重要特性，如ω0和Q。

 

交流響應(yīng)

 

在本節(jié)中，我們考慮圖1中所示的同一電路，現(xiàn)在使用交流電源供電。利用復(fù)符號(hào)dX/dt=jωX的性質(zhì)，ω是源的角頻率，我們可以用以下形式重寫方程1：

 

 

式2：串聯(lián)RLC電路的復(fù)二階微分方程

 

然后我們可以表示Vout/Vin的比值，這是串聯(lián)RLC電路的傳遞函數(shù)T：

 

 

公式3：串聯(lián)RLC電路的傳遞函數(shù)

 

知道Q=（1/R）√（L/C），ω0=1/√（LC），并考慮參數(shù)x=ω/ω0，稱為歸一化頻率，我們可以重新整理方程3，寫出傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，從而簡(jiǎn)化并使表達(dá)式更緊湊：

 

 

公式4:RLC電路傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

 

為了獲得作為參數(shù)x的函數(shù)的電路增益，繪制傳遞函數(shù)的范數(shù)是很有趣的。本例中取了R=10Ω和20Ω，L=0.2 H，C=100μF的值：

 

圖4：串聯(lián)RLC電路的增益

 

我們可以注意到，圖1中所示的串聯(lián)RLC電路在交流區(qū)起到了二階低通濾波器的作用，因?yàn)樗档土烁哂?omega;0的脈動(dòng)的輸出信號(hào)，通常稱為電路。二階濾波器具有對(duì)ω0附近頻率的信號(hào)進(jìn)行輕微放大的特性，并且在截止頻率之后呈現(xiàn)-40 dB/dec的降低，而不是僅-20 dB/dec，例如一階過濾器。它在圖4中強(qiáng)調(diào)了Q值（取決于R）對(duì)曲線形狀的影響。共振頻率附近的峰值確實(shí)以其帶寬Δω=ω0/Q為特征。在本例中，ω0=223 rad/s和Q=4.5或2.25，這使得橙色曲線的Δω=50 rad/s較窄，藍(lán)色曲線的帶寬為100 rad/s。因此，我們可以注意到，品質(zhì)因數(shù)決定了共振是窄的（大Q）還是寬的（小Q）。如前一節(jié)所述，用最佳可能曲線擬合未知電路的傳遞函數(shù)，可以了解電路的特性，從而確定其組成元件的值。

 

RCL和CLR配置

 

基本元件R、L和C的其它組合可以提供不同類型的濾波器。我們之前已經(jīng)看到RLC配置是二階低通濾波器，但是如果我們?cè)谒鼈冎g切換一些組件呢？圖5和圖6顯示了兩種新的配置，即RCL和CLR電路：

 

圖5:RCL電路示意圖

 

圖6:CLR電路示意圖

 

盡管這些電路和圖1中所示的原始RLC電路之間的變化很小，交流響應(yīng)非常大不一樣。它可以證明這兩個(gè)電路的傳遞函數(shù)由等式4和5給出：

 

 

公式5:RCL電路傳遞函數(shù)

 

 

公式6:CLR電路傳遞函數(shù)

 

通過繪制具有相同值的傳遞函數(shù)范數(shù)：R=10Ω和20Ω，L=0.2h，C=100μF，揭示了這些新濾波器的性質(zhì)。

 

圖7：串聯(lián)RCL和CLR電路的增益

 

RCL電路是一種二階高通濾波器，因?yàn)樗梢运pω0以下的頻率。電路CLR是一個(gè)帶通濾波器，因?yàn)樗环糯?omega;0左右的頻率。請(qǐng)注意，與上一節(jié)中關(guān)于曲線形狀作為Q函數(shù)的注釋仍然適用于這兩個(gè)過濾器。

 

結(jié)論

 

串聯(lián)RLC電路是由三個(gè)基本電子元件串聯(lián)而成：電阻器、電感器和電容器。電阻的阻抗是實(shí)數(shù)，電感器和電容器的阻抗是純虛數(shù)，電路的總阻抗是這三個(gè)阻抗之和，因此是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)字。那個(gè)第二節(jié)首先定義并給出電路的瞬態(tài)響應(yīng)。它包括在高電壓階躍下研究電路的行為。通過研究與電路相關(guān)的二階微分方程的可能解，可能存在三種情況：

 

欠阻尼響應(yīng)，信號(hào)向永久值Vin緩慢振蕩。

 

信號(hào)緩慢增加到永久值的過阻尼響應(yīng)。

 

臨界阻尼響應(yīng)是信號(hào)向永久值增長(zhǎng)最快的情況。

 

第三部分介紹了電路的交流響應(yīng)。當(dāng)提供交流信號(hào)時(shí)，微分方程可以寫成復(fù)數(shù)形式，以便找到電路的傳遞函數(shù)。繪制該函數(shù)的范數(shù)表明串聯(lián)RLC電路具有二階低通特性過濾器。輸入最后一節(jié)研究了RCL和CLR兩種不同的結(jié)構(gòu)。這一節(jié)說(shuō)明，二階高通濾波器或帶通濾波器可以由同一電路通過簡(jiǎn)單的開關(guān)元件來(lái)實(shí)現(xiàn)。

 

 

推薦閱讀：