為什么要學(xué)習(xí)波特圖呢？

波特圖將傳輸函數(shù)和頻率響應(yīng)定性的聯(lián)系起來(lái)了，通過(guò)波特圖的繪制，可以了解極點(diǎn)和零點(diǎn)是怎么影響頻率響應(yīng)的幅度和相位，進(jìn)而影響電路的性能。

換成人話(huà)，可以這樣說(shuō)。

什么是波特圖？

波特圖也是根據(jù)人名命名的，它是出自貝爾實(shí)驗(yàn)室，由荷蘭裔科學(xué)家 Hendrik Wade Bode在1930年發(fā)明的。Bode當(dāng)時(shí)需要設(shè)計(jì)用于電話(huà)網(wǎng)絡(luò)的放大器，放大器帶有負(fù)反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對(duì)穩(wěn)定所需的增益裕度和相位裕度，Bode開(kāi)發(fā)了波特圖。

假設(shè)一系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，傳輸函數(shù)為H(s)。則波特圖有兩副圖，幅頻圖和相頻圖，分別對(duì)應(yīng)增益和相位。

幅頻圖是|H(s=jw)|隨頻率的函數(shù)，其橫軸為頻率，用對(duì)數(shù)尺度表示；縱軸為功率的dB值，即20log10|H|。

相頻圖是arg(H(s=jw))隨頻率的函數(shù)，其橫軸為頻率，用對(duì)數(shù)尺度表示；縱軸的單位一般為度，為線(xiàn)性值。

怎么畫(huà)波特圖？

畫(huà)幅頻圖時(shí)，遵循以下規(guī)則：

(1) 當(dāng)頻率w經(jīng)過(guò)極點(diǎn)時(shí)，|H(jw)|的斜率變?yōu)?20dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變小20dB;

(2) 當(dāng)頻率w經(jīng)過(guò)零點(diǎn)時(shí)，|H(jw)|的斜率變?yōu)?0dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變大20dB;

(3) 圖在起始點(diǎn)時(shí)的增益值，可以計(jì)算頻率的下限值對(duì)應(yīng)的|H(jw)|；

如果零點(diǎn)沒(méi)有在原點(diǎn)處的時(shí)候，可以將w=0代入|H(jw)|,計(jì)算其在DC處的增益；

如果有零點(diǎn)處在原點(diǎn)處，則可以選擇一個(gè)靠近w=0的值，比如說(shuō)w=1作為|H(jw)|的初始值。零點(diǎn)在原點(diǎn)，即w=0時(shí)，|H(jw)|=0，因?yàn)榭v軸是對(duì)數(shù)值，所以不可能在圖中包括|H(jw)|=0的值。

(4) 圖在起始點(diǎn)的斜率，取決于在w小于起始點(diǎn)處零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后按照(1)和(2)的規(guī)則計(jì)算；如果在w小于起始點(diǎn)處無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)，則初始斜率為0。

畫(huà)相頻圖時(shí)，遵循以下規(guī)則:

(1) 假設(shè)極點(diǎn)為wp,即其則曲線(xiàn)在0.1wp處開(kāi)始變化，在wp處變化-45度，在10wp處變化接近于-90度。

(2) 假設(shè)零點(diǎn)為wz,則曲線(xiàn)在0.1wz處開(kāi)始變化，在wz處變化45度，在10wz處變化接近于90度。

看到電路，快速畫(huà)出波特圖，了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性

當(dāng)K等于0時(shí)，沒(méi)有反饋，此時(shí)系統(tǒng)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)；

當(dāng)K不等于0時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)。

其中，KH(s)稱(chēng)為環(huán)路增益。

由上面等式可知，當(dāng)KH(jw)=-1時(shí)，Y/X-->無(wú)窮大，即使X很小很小，也會(huì)導(dǎo)致很大的Y輸出，即系統(tǒng)處于振蕩狀態(tài)，不穩(wěn)定。

所以為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，需要在任何頻率處都不能滿(mǎn)足KH(jw)=-1的條件，即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢？

因?yàn)槊拷?jīng)過(guò)一次環(huán)路，信號(hào)都會(huì)被進(jìn)一步放大，因?yàn)榉聪?，所以疊加出來(lái)的信號(hào)會(huì)變得越來(lái)越大。

所以當(dāng)

|KH(jw)|>=1

arg(KH(jw))=180度，

系統(tǒng)都處于一個(gè)不穩(wěn)定的狀態(tài)。

用圖形示意，可能會(huì)比較直觀(guān)。

增益等于0dB對(duì)應(yīng)的頻率，稱(chēng)為gain crossover frequency.

相位等于-180度對(duì)應(yīng)的頻率，稱(chēng)為phase crossover frequency.

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求gain crossover frequency<phase crossover frequency.

舉兩個(gè)例子，解釋一下，如何從電路到波特圖，再分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

所以，如果電路只包含一個(gè)極點(diǎn)的話(huà)，那么這個(gè)系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。

可以看到，系統(tǒng)中相應(yīng)部件對(duì)最后波特圖的影響，比如說(shuō)，原來(lái)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，但是當(dāng)降低K的值時(shí)，系統(tǒng)則會(huì)變穩(wěn)定。

增益裕度和相位裕度

增益裕度和相位裕度都是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的方法。

在相位圖上，找到相位達(dá)到-180度時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率，然后計(jì)算該頻率對(duì)應(yīng)的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定；如果|KH(jw)|180<1,則系統(tǒng)穩(wěn)定。

在波特增益圖上，找到|KH(jw)|=1的頻率，稱(chēng)為w0dB，然后找到該頻率下KH(jw)w0dB的相位。

如KH(jw)w0dB的相位大于-180度，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

KH(jw)w0dB的相位與-180度之間的差，稱(chēng)為相位裕度。

一般取相位裕度為60度左右，此時(shí)任務(wù)系統(tǒng)處于一比較好的穩(wěn)定狀態(tài)。

不想自己手工畫(huà)波特圖，怎么辦？

計(jì)算機(jī)已如此普及，當(dāng)然可以不用手工畫(huà)啦。matlab中有現(xiàn)成的函數(shù)。

還有什么可以用到波特圖呢？

當(dāng)環(huán)路濾波器只有一個(gè)電容時(shí)，如下圖所示。

可以看到環(huán)路中只有兩個(gè)零極點(diǎn)，所以相位圖為接近-180度的一條直線(xiàn)，因此其總相位裕度基本為0，表面這個(gè)鎖相環(huán)是不穩(wěn)定的。

解決問(wèn)題的一個(gè)辦法是給電容加入一個(gè)串聯(lián)電阻R，這樣就引入了一個(gè)零點(diǎn)，從而對(duì)環(huán)路進(jìn)行相位補(bǔ)償。

在實(shí)際的應(yīng)用中，需要額外增加電阻電容低通濾波器，以濾掉一些高頻噪聲和電壓波動(dòng)。其中最簡(jiǎn)單的一種是在上述電容電阻兩端再加一個(gè)電容C1，通常C1遠(yuǎn)小于積分電容C0，如下圖所示。

這就是我們常用的環(huán)路濾波器的結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

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